Banach-Raum

Bạnach-Raum

 

[nach S. Banach], Mathematik: fundamentaler Begriff der Funktionalanalysis, Verallgemeinerung des der analytischen Geometrie zugrunde liegenden Begriffs des n -dimensionalen Vektorraumes. Ist auf einem reellen oder komplexen linearen Raum R jedem Element x aus R eine Norm ||x || zugeordnet, so wird auf einem derart normierten Vektorraum R eine Metrik durch die Definition ρ (x, y) = || x —y || für den Abstand zweier Elemente x und y aus R erklärt. R ist ein Banach-Raum bezüglich dieser Metrik, wenn R vollständig ist, d. h., wenn jede der Konvergenzbedingung von A. L. Cauchy (Grenzwert) genügende Folge von Elementen aus R gegen ein Element aus R konvergiert.

 

Beispiel: R bestehe aus den im Intervall 0 ≤ u ≤ 1 beschränkten reellwertigen Funktionen x (u ) der reellen Variablen u. Dieser lineare Raum wird ein Banach-Raum, wenn man unter ||x || die obere Grenze der absoluten Beträge der Werte der Funktion x in diesem Intervall definiert. Wenn R eine der Bedingung ||x · y ||≤||x ||·||y|| genügende Algebra ist, heißt R eine Banach-Algebra.

 

Literatur:

 

J. Werner: Banach Algebras and several complex variables (²1976);

 

Banach space theory and its applications, hg. v. A. Pietsch u. a. (1983).